和算 ～日本の誇る数学～ 点竄術（てんざんじゅつ）

柿の花

🍀柿の花がかわいらしく咲きました。淡い黄色の花で，小さいのであまり目立ちません。近くに行って木を下から見上げると，花が咲いているのが分かるくらいです。

この後 果実をつけるのですが，若い実がけっこう落ちるのです。今年はたくさん残って

くれたらいいなぁ。

もう少ししたら，果実に影響のない程度に葉を採って柿の葉茶を作ります。この時期の葉は

ビタミンＣ がとても豊富✨ その他にポリフェノールやミネラルなども含みます。

栄養豊富だしカフェインを含まないので，飲みやすいですよ🍵

🌿さて，今回は和算の中から「点竄術（てんざんじゅつ）」の問題をご紹介します！

　 「点」は「残す」，「竄」は「除く」の意味で，加減乗除の計算を記号によって表す

　 代数の方法のことです。

　坂部広胖（さかべ こうはん（ひろなお））の『算法点竄指南録（さんぽうてんざんしなんろく）』

　からの問題です。 　　 　参考： 一関市博物館主催「和算に挑戦」（平成22年度）

🌺問題：米を蓄えた蔵があります。蔵の中から，

　　　　 初日に１石（こく）を出します。

　　　　次の日に３石，また次の日に７石，その次の

　　　　 日に11石，その次の日に15石を出す，という

　　　　ように米を出していくと，30日で蔵は からに

　　　　 なりました。はじめに入っていた米は何石でしょうか。

　　　　　　　　　　※ 「石」は，米をはかる単位です。（１石＝10斗＝100升）

　　　　　　　　　　　 　 「１升瓶」って聞いたことがありますか。１升は約1.8リットルです。

　　　　　　　　　　　　 ですから１石は約180リットルです。

💛考え方

　　 表にする・式を立てるなど，自分が一番考えやすい方法で解いてみてくださいね。

　　 不思議な数の並びが出てきますね (^-^)　でもそこで戸惑わず，増え方の規則が

　　 見えてきたら，「何か簡単に計算する方法はないか」と考えてみましょう。

　　 （よく分からないときは，地道に書き挙げるのが一番です！）

💚解答例　（はじめに入っていた米を S とします）

● 表の利用（全て書き挙げて足し算するにしても，表の方が見やすくて間違えにくいですよ）

　　　　　それぞれの日の，米を出す数を表にすると，次のようになる。

　◎ 解き方１：そのまま足し算する

　　　　 S =1＋3＋7＋……＋107＋111＋115＝1712

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1712石　　　

　　　※ 下の表のように，「初日からの合計の石数」の行をつけ足して計算していくと

　　　　 見やすいですよ。

　◎ 解き方２：工夫して計算する

　　　　「解き方１」のように地道に計算すれば答えは求まるのですが，足す数が

　　　　多いし，しかも大きい！ そこで，ちょっと数の並びを眺めてみましょう。

　　　　規則性が見えてきましたか。

　　　　では，ちょっと工夫して計算量を減らしましょう。その方が正確に計算

　　　　できますよ。

　　　 上の表の □ の中の数は，最初の数３に ４を次々に足した数が並んでいます。

　　　　 このような規則で並んでいる数の和は，まず足す順番をひっくり返して

　　　　式を書き，２つの式を足します。

　　　　□ の中の数の和を T として，次のように計算します。

　　　　　　　　　　　　（赤い線は，実際には書かなくていいです。見やすくするために引いています。）

　　　　※ 注意：T は，２日目から30日目までの，29日分の石数を足したものだから，

　　　　　　　　　 　　　 S ＝１＋ T

　　　　　　　　 １日目の石数１を忘れずに足しましょう (^^)/

　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　➣ この計算方法は，俵杉算 の計算で使いましたね (^^♪

チャレンジ！

● 数列の公式を用いて解く

　　　　　（「数列」は高校で学習しますが，知っておくと便利ですよ。下のピンクの文字は数列の言葉です。）

米を出す石数は

　　　１，３，７，11，15，…… ，111，115　（全部で30個）

ですが，２日目から後の数には規則性があって，

　　　３，７，11，15，……，111，115　（全部で29個）

は，最初の数（初項）３ に 一定の数（公差）４ を 次々に足した数が並んでいます。

最後の数（末項）は 115，足す数の個数（項数）は 29 です。

　　　　　　　　（ちなみに，例えば 「20，16，12，8，……」のように，

　　　　　　　　最初の数から４を次々に引いた数が並んでいたら，「公差はー４」です。）

このように，隣り合う２つの数の差が常に一定である数列を等差数列といい，

和を求める式は次のようになります。

２つの式は，初項と項数を必ず使います。それに加えて，

上の式は末項を使い，下の式は公差を使います。

　◎ 解き方３：等差数列の和の公式（上の式）

　◎ 解き方４：等差数列の和の公式（下の式）

🌷どちらの式を使っても解けるのですが，この問題の場合，30日目の石数115 を

　 求めるのがけっこう大変なので，おすすめは「解き方４（下の式）」です。

● この他にも，項数を30にするように工夫したり，数列の Σ を

　 使ったり，文字を使って一般化したりなど，色々あります。

　 『算法点竄指南録』にも，何通りもの解答が書かれているんですよ。

　 年齢に合わせて解き方が楽しめる問題，面白いですね (^-^)